Câu hỏi của MixiGaming

Question

Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, K, L lần lượt là trung điểm của ba cạnh AB, BC, AC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh 6 điểm I, F, N, P, L, E cùng thuộc một
đường tròn.

Thu Hà Bùi · Accepted Answer

I là trung điểm của ABAB.LL là trung điểm của ACAC.NN là trung điểm của HBHB.PP là trung điểm của HCHC.EE là chân đường cao từ BB xuống ACAC.FF là chân đường cao từ CC xuống ABAB.Xét tứ giác EINPEINP:Do II, NN, PP, EE đều là các trung điểm hoặc chân đường cao nên tứ giác này là một tứ giác nội tiếp (các góc đối nhau cộng lại bằng 180 độ).Xét tứ giác IFNLIFNL:II và LL là các trung điểm của hai cạnh đối diện của tam giác.NN và FF là các điểm đối xứng nhau qua trung điểm HH của cạnh BCBC.Tứ giác này cũng là tứ giác nội tiếp.Để chứng minh rằng các điểm cùng thuộc một đường tròn, ta sử dụng định lý Carnot hoặc chứng minh góc giữa các đường chéo của các tứ giác IFNLIFNL và EINPEINP bằng nhau.Bước 3: Chứng minh rằng tứ giác IFNLIFNL là tứ giác nội tiếpTa có II là trung điểm của ABAB, LL là trung điểm của ACAC, và FF là chân đường cao từ CC xuống ABAB.Khi đó IF⊥ACIF⊥AC, FL⊥ABFL⊥AB, suy ra IFNLIFNL là tứ giác nội tiếp.Bước 4: Chứng minh rằng tứ giác EINPEINP là tứ giác nội tiếpVì NN, PP lần lượt là trung điểm của HBHB, HCHC và EE, FF là các chân đường cao của BB, CC, nên EINPEINP là tứ giác nội tiếp do có góc vuông tại EE, FF.Kết luận:Vì IFNLIFNL và EINPEINP là hai tứ giác nội tiếp và cùng có các điểm chung FF, II, LL, EE, NN, PP, nên 6 điểm II, FF, NN, PP, LL, EE cùng thuộc một đường tròn.Câu trả lời: I là trung điểm của ABAB.LL là trung điểm của ACAC.NN là trung điểm của HBHB.PP là trung điểm của HCHC.EE là chân đường cao từ BB xuống ACAC.FF là chân đường cao từ CC xuống ABAB.Xét tứ giác EINPEINP:Do II, NN, PP, EE đều là các trung điểm hoặc chân đường cao nên tứ giác này là một tứ giác nội tiếp (các góc đối nhau cộng lại bằng 180 độ).Xét tứ giác IFNLIFNL:II và LL là các trung điểm của hai cạnh đối diện của tam giác.NN và FF là các điểm đối xứng nhau qua trung điểm HH của cạnh BCBC.Tứ giác này cũng là tứ giác nội tiếp.Để chứng minh rằng các điểm cùng thuộc một đường tròn, ta sử dụng định lý Carnot hoặc chứng minh góc giữa các đường chéo của các tứ giác IFNLIFNL và EINPEINP bằng nhau.Bước 3: Chứng minh rằng tứ giác IFNLIFNL là tứ giác nội tiếpTa có II là trung điểm của ABAB, LL là trung điểm của ACAC, và FF là chân đường cao từ CC xuống ABAB.Khi đó IF⊥ACIF⊥AC, FL⊥ABFL⊥AB, suy ra IFNLIFNL là tứ giác nội tiếp.Bước 4: Chứng minh rằng tứ giác EINPEINP là tứ giác nội tiếpVì NN, PP lần lượt là trung điểm của HBHB, HCHC và EE, FF là các chân đường cao của BB, CC, nên EINPEINP là tứ giác nội tiếp do có góc vuông tại EE, FF.Kết luận:Vì IFNLIFNL và EINPEINP là hai tứ giác nội tiếp và cùng có các điểm chung FF, II, LL, EE, NN, PP, nên 6 điểm II, FF, NN, PP, LL, EE cùng thuộc một đường tròn.