Question

 Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Gọi N là trung điểm của AC. Lấy điểm D trên tia BN sao cho BN = ND. Kẻ $AP\perp BC,CQ\perp AD$.

a) Chứng minh N là trung điểm của PQ.

b) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác ABCD là hình vuông.

Answer 1

a: Xét tứ giác ABCD có

N là trung điểm chung của AC và BD

=>ABCD là hình bình hành

=>AD//BC và AB//CD

Ta có: AD//BC

AP\(\perp\)BC

Do đó: AP\(\perp\)AD

Ta có: AP\(\perp\)AD

CQ\(\perp\)AD

Do đó: AP//CQ

Ta có: AD//BC

Q\(\in\)AD

P\(\in\)BC

Do đó: AQ//CP

Xét tứ giác APCQ có

AQ//CP

AP//CQ

=>APCQ là hình bình hành

=>AC cắt PQ tại trung điểm của mỗi đường

mà N là trung điểm của AC

nên N là trung điểm của PQ

b: Để hình bình hành ABCD trở thành hình vuông thì ABCD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi

ABCD trở thành hình chữ nhật khi \(\widehat{ABC}=90^0\)

ABCD trở thành hình thoi khi BA=BC

Vậy: Để ABCD trở thành hình vuông thì BA=BC và \(\widehat{ABC}=90^0\)