Question

Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H.

a ) Chứng minh : \(\frac{KC}{KB}=\frac{AC^2+CB^2-BA^2}{CB^2+BA^2-AC^2}\)

b ) Gỉa sư \(HK=\frac{1}{3}AK\). Chứng minh rằng \(\tan B.\tan C=3\)

c ) giả sử \(S_{ABC}=120cm^2;\widehat{BAC}=60^0\) . . Hãy tính diện tích tam giác ADE?

Answer 1

a/ Áp dụng định lý Pytago:

\(\frac{AC^2+CB^2-BA^2}{CB^2+BA^2-AC}=\frac{AK^2+KC^2+\left(BK^2++CK^2\right)-AB^2}{\left(BK+CK\right)^2+BA^2-\left(AK+KC\right)^2}\)

\(=\frac{2CK^2+2BK.CK}{2BK^2+2BK.CK}=\frac{2CK\left(CK+BK\right)}{2BK\left(BK+CK\right)}=\frac{CK}{BK}\)

b ) Ta có : 

\(\tan B=\frac{AK}{BK}\) ; \(\tan C=\frac{AK}{CK}\)

Nên \(\tan B.\tan C=\frac{AK^2}{BK.CK}\left(1\right)\)

Mặt khác ta có : \(B=HKC\)mà : \(tanHKC=\frac{KC}{KH}\)

Nên \(\tan B=\frac{KC}{KH}\)tương tự \(tanC=\frac{KB}{KH}\)

\(\Rightarrow\tan B.\tan C=\frac{KB.KC}{KH^2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(\tan B.\tan C\right)^2=\left(\frac{AK}{KH}\right)^2\)

Theo bài ra có : \(HK=\frac{1}{3}AK\Rightarrow\tan B.\tan C=3\)

c ) c/ Ta chứng minh được: 2 tam giác ABC và ADE đồng dạng nên : 

\(\frac{S_{ABC}}{S_{ADE}}=\left(\frac{AB}{AD}\right)^2\left(3\right)\)

Mà góc BAC = 60 ⁰ nên \(\widehat{ABD}=30^0\) 

\(\Rightarrow AB=2AD\left(4\right)\)

Từ (3) và (4 ) ta có : \(\frac{S_{ABC}}{S_{ADE}}=4\Rightarrow S_{ADE}=30\left(cm^2\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!