Question

Cho tam giác ABC, H là trực tâm. Gọi E,F là trung điểm của AC,AB. trên đường thẳng qua A song song với BC lấy M,N sao cho FM vuông góc FH, EN vuông góc EH. EM giao FN tại P. cmr AP, BC, đường thẳng euler của tam giác ABC đồng quy

 

 

Answer 1

Nguyễn Tất Đạt: alo ông eiii

Answer 2

Gọi EN giao FM tại K, AP cắt BC tại V, AK cắt BC tại U. Giao điểm của EF với AK và AP lần lượt là L và I.

Áp dụng ĐL Thales ta dễ có \(\frac{FL}{AM}=\frac{KF}{KM}=\frac{EF}{MN}=\frac{EI}{AM}\Rightarrow FL=EI\). Từ đây BU = CV

Suy ra hai điểm U,V đối xứng với nhau qua trung điểm T của cạnh BC   (1)

Mặt khác gọi S là chân đường cao xuất phát từ A của tam giác ABC. KJ vuông góc AH tại J, AH cắt EF tại G.

Ta thấy ^KJH = ^KEH = ^KFH = 90⁰ nên năm điểm E,F,K,H,J đồng viên

Từ đó \(GE.GF=GH.GJ\Rightarrow\frac{1}{4}SB.SC=\frac{1}{4}SH.SA=GH.GJ\)

Hay \(d_{\left(O,EF\right)}.AG=GH.d_{\left(K,EF\right)}\Rightarrow\frac{d_{\left(O,EF\right)}}{d_{\left(K,EF\right)}}=\frac{GH}{AG}\). Từ đó dễ suy ra L,O,H thẳng hàng

Gọi cát tuyến LOH cắt BC tại V'. Ta lại có CF và OH cắt nhau tại trọng tâm tam giác ABC nên theo ĐL Thales:

\(CV'=2.FL=BU\). Suy ra hai điểm U và V' đối xứng nhau qua trung điểm cạnh BC   (2)

Từ (1) và (2) suy ra V trùng V'. Mà AP cắt BC tại V, OH (Đường Euler của tam giác ABC) cắt BC tại V'

Nên OH,AP,BC đồng quy (đpcm).