Question

Cho tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác của hai góc ABC và ACB. Gọi M là trung điểm của BC. Cho biết BIM= 90  và IB = 2IM.

a) Chứng minh rằng BIC = 90 + BAC:2 .

b) Trên tia đối của tia MI, lấy điểm E sao cho MI = ME. Chứng minh rằng ∆IMB = ∆EMC.

c) Chứng minh rằng tam giác BIE vuông cân tại I. Từ đó, hãy chứng tỏ rằng BIC = 135 và BAC = 90

Answer 1

a: Xét ΔABC có \(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0\)

=>\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0-\widehat{BAC}\)

=>\(2\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)=180^0-\widehat{BAC}\)

=>\(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=90^0-\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAC}\)

Xét ΔIBC có \(\widehat{BIC}+\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=180^0\)

=>\(\widehat{BIC}=180^0-\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)\)

\(=180^0-90^0+\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAC}=90^0+\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAC}\)

b: Xét ΔIMB và ΔEMC có

MI=ME

\(\widehat{IMB}=\widehat{EMC}\)

MB=MC

Do đó: ΔIMB=ΔEMC

c: IM=1/2IE

mà IM=1/2BI

nên IB=IE

Xét ΔBIE vuông tại I có IB=IE

nên ΔBIE vuông cân tại I

=>\(\widehat{IEB}=45^0\)

Xét tứ giác BICE có

M là trung điểm chung của BC và IE

nên BICE là hình bình hành

=>BE//CI

=>\(\widehat{BEI}=\widehat{EIC}\)(hai góc so le trong)

mà \(\widehat{BEI}=45^0\)

nên \(\widehat{EIC}=45^0\)

\(\widehat{BIC}=\widehat{BIE}+\widehat{EIC}\)

\(=90^0+45^0=135^0\)

\(\widehat{BIC}=90^0+\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAC}\left(cmt\right)\)

=>\(\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAC}=135^0-90^0=45^0\)

=>\(\widehat{BAC}=90^0\)