a: Qua B, kẻ BK//MN(K∈AD)
Qua C, kẻ CE//MN(E∈AD)
Ta có: BK//MN
CE//MN
Do đó: BK//CE
Xét ΔABC có
AD là đường trung tuyến
G là trọng tâm
Do đó: A,G,D thẳng hàng
=>\(AG=\frac23AD;DG=\frac13AD;AG=2GD\)
Xét ΔDKB và ΔDEC có
\(\hat{DBK}=\hat{DCE}\) (hai góc so le trong, BK//EC)
DB=DC
\(\hat{KDB}=\hat{EDC}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔDKB=ΔDEC
=>DK=DE và BK=EC
Xét ΔABK có MG//BK
nên \(\frac{AM}{AB}=\frac{AG}{AK}\)
=>\(\frac{AB}{AM}=\frac{AK}{AG}\)
Xét ΔAEC có GN//EC
nên \(\frac{AG}{AE}=\frac{AN}{AC}\)
=>\(\frac{AC}{AN}=\frac{AE}{AG}\)
\(\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{AK}{AG}+\frac{AE}{AG}=\frac{AK+AE}{AG}\)
\(=\frac{AK+AK+KE}{AG}=\frac{2AK+2KD}{AG}=\frac{2\cdot AD}{AG}=\frac{2\cdot AD}{\frac23AD}=2:\frac23=3\)
b: Xét ΔABK có MG//BK
nên \(\frac{BM}{AM}=\frac{GK}{AG}\)
Xét ΔAEC có GN//EC
nên \(\frac{CN}{NA}=\frac{EG}{GA}\)
\(\frac{BM}{MA}+\frac{CN}{NA}=\frac{GK}{AG}+\frac{EG}{GA}=\frac{GK+GE}{GA}=\frac{GK+GK+KE}{GA}\)
\(=\frac{2GK+2KD}{GA}=\frac{2GD}{GA}=1\)
