Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vương Phú Nguyễn

Cho tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF, trực tâm H. M, N là trung điểm BC, AH. a) Chứng minh ME, MF là tiếp tuyến của (AEF). b) K, L là trung điểm ME, MF. Qua A kẻ song song BC, cắt KL tại T. Chứng minh: TA=TM.

Hoàng Phú Thiện
4 tháng 9 2022 lúc 10:39

a) Xét tứ giác AEHF có: \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^o+90^o=180^o\)

=> Tứ giác AEHF nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

mà N là trung điểm của AH (giả thiết)

=> A, E, F, H cùng nằm trên đường tròn (N) 

=> \(\Delta AEF\) nội tiếp đường tròn (N) (1)

Xét tứ giác ACDF có: \(\widehat{ADC}=\widehat{AFC}=90^o\) (giả thiết)

=> Tứ giác ACDF nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

=> \(\widehat{FAD}=\widehat{FCD}\) (cùng chắn \(\stackrel\frown{FD}\)) hay \(\widehat{FAN}=\widehat{FCM}\)

Xét \(\Delta AFH\) vuông tại F có: \(FN\) là đường trung tuyến

\(\Rightarrow AN=FN=HN=\dfrac{1}{2}AH\) (định lí)

\(\Rightarrow\Delta AFN\) cân tại N (vì AN = FN)

\(\Rightarrow\widehat{FAN}=\widehat{AFN}\)

Xét \(\Delta BCF\) vuông tại F có: \(FM\) là đường trung tuyến

\(\Rightarrow BM=CM=FM=\dfrac{1}{2}BC\) (định lí)

\(\Rightarrow\Delta CFM\) cân tại M (vì CM = FM)

\(\Rightarrow\widehat{FCM}=\widehat{CFM}\)

Từ đó, suy ra: \(\widehat{AFN}=\widehat{CFM}\) (vì \(\widehat{FAN}=\widehat{FCM}\))

Mà \(\widehat{AFC}=\widehat{AFN}+\widehat{CFN}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CFM}+\widehat{CFN}=90^o\) hay \(\widehat{MFN}=90^o\) (2)

Từ (1) và (2) => MF là tiếp tuyến của (AEF)

Chứng minh tương tự, ta được: ME là tiếp tuyến của (AEF)


Các câu hỏi tương tự
Nguyen huong mai
Xem chi tiết
Tú Nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Vương Phú
Xem chi tiết
super idol
Xem chi tiết
Vô Danh Tiểu Tốt
Xem chi tiết
Ngô Đức Tiến
Xem chi tiết
9D-21-Bùi Quang Khải-ĐH
Xem chi tiết
Vui Ngo Tan
Xem chi tiết
Vui Ngo Tan
Xem chi tiết
Nguyễn Vương Phú
Xem chi tiết