Question

Cho tam giác ABC có góc A = 120 độ, D là phân giác trong của góc A( D thuộc cạnh BC). Gọi R, R1, R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ABD, ACD. Đẳng thức nào sau đây đúng? a) R= R1.R2 b) R= √3( R1+ R2) c) R= R1+R2 d) R= 2( R1+ R2)

Answer 1

AD là phân giác của góc BAC

=>\(\hat{BAD}=\hat{CAD}=\frac12\cdot\hat{BAC}=\frac12\cdot120^0=60^0\)

Xét ΔABD có \(\frac{BD}{\sin BAD}=2R_1\)

=>\(2R_1=\frac{BD}{\sin60}=BD:\frac{\sqrt3}{2}=BD\cdot\frac{2}{\sqrt3}\)

=>\(R_1=BD\cdot\frac{1}{\sqrt3}\)

=>\(BD=R_1\cdot\sqrt3\)

Xét ΔADC có \(\frac{CD}{\sin CAD}=2R_2\)

=>\(2R_2=\frac{CD}{\sin60}=CD:\frac{\sqrt3}{2}=\frac{2}{\sqrt3}\cdot CD\)

=>\(R_2=\frac{CD}{\sqrt3}\)

=>\(CD=R_2\cdot\sqrt3\)

Xét ΔABC có \(\frac{BC}{\sin BAC}=2R\)

=>\(2R=\frac{BC}{\sin120}=BC:\frac{\sqrt3}{2}=\frac{2}{\sqrt3}\cdot BC\)

=>\(BC=R\sqrt3\)

=>BD+CD=\(R\sqrt3\)

=>\(\sqrt3\left(R_1+R_2\right)=R\cdot\sqrt3\)

=>\(R_1+R_2=R\)

=>Chọn C