Cho tam giác ABC có D là trung điểm của AC trên đoạn BD lấy điểm E sao cho BE = 2ED F thuộc tia đối của tia DE cho cho BF = 2BE gọi K là trung điểm của FC và G là giao điểm của EK và AC câu a chứng minh EC là đường trung tuyến của tam giác ABC câu b chứng minh G là trọng tâm của tam giác EFC câu C Gọi I là giao điểm của CE và AB; M là giao điểm của FG và CE . Chứng minh FM = 1/2 AB
a: Sửa đề: EC là đường trung tuyến của ΔBCF
Vì BF=2BE
nên E là trung điểm của BE
=>CE là đường trung tuyến của ΔBCF
b: Ta có: E là trung điểm của BF
=>\(BE=EF=\dfrac{BF}{2}\)
mà BE=2ED
nên EF=2ED
=>D là trung điểm của EF
Xét ΔFEC có
EK,CD là các đường trung tuyến
EK cắt CD tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔFEC
c:
BE+ED=BD
=>BD=1/2BE+BE=3/2BE
Xét ΔFEC có
G là trọng tâm
M là trung điểm của EC
Do đó: F,G,M thẳng hàng
Xét ΔABC có
BD là đường trung tuyến
\(BE=\dfrac{2}{3}BD\)
Do đó: E là trọng tâm của ΔABC
=>I là trung điểm của AB
=>\(CE=2IE\)
mà CE=2CM=ME(M là trung điểm của CE)
nên EI=EM=MC
=>EI=EM
=>E là trung điểm của IM
Xét tứ giác FIBM có
E là trung điểm chung của FB và IM
=>FIBM là hình bình hành
=>FM=IB
mà IB=1/2AB
nên \(FM=\dfrac{AB}{2}\)
