Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng
minh rằng:
1) AF.AB = AH.AD 2) tam giác AHB đồng dạng với tam giác AFD
3) tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC 4) HE.HB = HF.HC
5) tam giác HEF đồng dạng với tam giác HCB 6) BF.BA + CE.CA = BC^2
7) Biết BD = 2 cm, DC = 3 cm, SABC= 30 cm2
.
a) Tính BC; AD; HD? b) Tính SHBD = ?
1: Xét ΔAFH vuông tại F và ΔADB vuông tại D có
\(\widehat{FAH}\) chung
Do đó: ΔAFH~ΔADB
=>\(\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AH}{AB}\)
=>\(AF\cdot AB=AH\cdot AD\)
2: Ta có: \(\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AH}{AB}\)
=>\(\dfrac{AF}{AH}=\dfrac{AD}{AB}\)
Xét ΔAFDvà ΔAHB có
\(\dfrac{AF}{AH}=\dfrac{AD}{AB}\)
\(\widehat{FAD}\) chung
Do đó: ΔAFD~ΔAHB
3: Xét ΔAEB vuông tại Evà ΔAFC vuông tại F có
\(\widehat{EAB}\) chung
Do đó: ΔAEB~ΔAFC
=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)
=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
\(\widehat{FAE}\) chung
Do đó: ΔAEF~ΔABC
4: Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có
\(\widehat{FHB}=\widehat{EHC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔHFB~ΔHEC
=>\(\dfrac{HF}{HE}=\dfrac{HB}{HC}\)
=>\(HF\cdot HC=HB\cdot HE\)
5: \(\dfrac{HF}{HE}=\dfrac{HB}{HC}\)
=>\(\dfrac{HF}{HB}=\dfrac{HE}{HC}\)
Xét ΔHFE và ΔHBC có
\(\dfrac{HF}{HB}=\dfrac{HE}{HC}\)
\(\widehat{FHE}=\widehat{BHC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔHFE~ΔHBC
6: Xét ΔBFC vuông tại F và ΔBDA vuông tại D có
\(\widehat{FBC}\) chung
Do đó: ΔBFC~ΔBDA
=>\(\dfrac{BF}{BD}=\dfrac{BC}{BA}\)
=>\(BF\cdot BA=BD\cdot BC\)
Xét ΔCEB vuông tại E và ΔCDA vuông tại D có
\(\widehat{ECB}\) chung
Do đó: ΔCEB~ΔCDA
=>\(\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{CB}{CA}\)
=>\(CE\cdot CA=CB\cdot CD\)
Ta có: \(BF\cdot BA+CE\cdot CA\)
\(=BD\cdot BC+CD\cdot CB\)
\(=BC^2\)
