Question

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB<AC và nội tiếp đường tròn tâm O. Đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp

b) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

Answer 1

a: Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

b: Xét tứ giác BFHD có \(\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BFHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác DCEH có \(\widehat{HEC}+\widehat{HDC}=90^0+90^0=180^0\)

nên DCEH là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\widehat{FEH}=\widehat{FAH}\)(AEHF nội tiếp)

\(\widehat{DEH}=\widehat{DCH}\)(EHDC nội tiếp)

mà \(\widehat{FAH}=\widehat{DCH}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

nên \(\widehat{FEH}=\widehat{DEH}\)

=>EH là phân giác của góc FED

Ta có: \(\widehat{DFH}=\widehat{DBH}\)(DBFH nội tiếp)

\(\widehat{EFH}=\widehat{EAH}\)(AEHF nội tiếp)

mà \(\widehat{DBH}=\widehat{EAH}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)

nên \(\widehat{DFH}=\widehat{EFH}\)

=>FH là phân giác của góc DFE

Xét ΔDEF có

FH,EH là các đường phân giác

FH cắt EH tại H

Do đó: H là tâm đường tròn nội tiếp ΔDEF