Cho tam giác ABC cắt tại A. Vẽ AM là tia phân giác của BAC
a)Chứng minh : Δ AMB = Δ AMC
b)C/M : AM ⊥ BC
c)Vẽ At là phân giác của góc ngoài ở đỉnh A của △ ABC( At ở cùng 1 phía chứa điểm B so với đường thẳng AC ). C/M: At// BC
d)Qua M vẽ đth ⊥ vs AB cắt At tại P. Trên đưởng thẳng qua M và vuông góc với AC lấy điểm Q sao cho MQ = MP. Chứng minh : A là trung điểm của PQ
a: Xét ΔAMB và ΔAMC có
AM chung
MB=MC
AB=AC
Do đó: ΔAMB=ΔAMC
b: ΔAMB=ΔAMC
=>\(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\)
mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
=>AM\(\perp\)BC
c: Ta có: At là phân giác góc ngoài tại đỉnh A
=>\(\widehat{tAB}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\)(1)
ΔABC cân tại A
=>\(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\widehat{tAB}=\widehat{ABC}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên At//BC
d: Ta có: At//BC
AM\(\perp\)BC
Do đó: At\(\perp\)AM tại A
Gọi giao điểm của MP với AB là H, giao điểm của AC và MQ là K
Xét ΔAHM vuông tại H và ΔAKM vuông tại K có
AM chung
\(\widehat{HAM}=\widehat{KAM}\)
Do đó: ΔAHM=ΔAKM
=>\(\widehat{HMA}=\widehat{KMA}\)
=>MA là phân giác của góc PMQ
ΔMPQ cân tại M
mà MA là đường phân giác
nên MA\(\perp\)PQ tại A
mà MA\(\perp\)AP tại A
nên P,A,Q thẳng hàng
ΔMPQ cân tại M
mà MA là đường cao
nên A là trung điểm của PQ
