Question

cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM, I trung điểm AC. gọi N là điểm đối xứng của M qua I

a) tg AMCN là hình gì? vì sao

b) gọi E là trung điểm AM. cm E là trung điểm BN

c) gọi K là trung điiểm AB. tìm điều kiện của tam giác ABC để tg AKMI là hình vuông

Answer 1

a: ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM\(\perp\)BC tại M

Xét tứ giác AMCN có

I là trung điểm chung của AC và MN

=>AMCN là hình bình hành

Hình bình hành AMCN có \(\widehat{AMC}=90^0\)

nên AMCN là hình chữ nhật

b: Ta có: AMCN là hình chữ nhật

=>AN//CM và AN=CM

ta có: AN//CM

=>AN//BM

ta có: AN=CM

CM=BM

Do đó: AN=BM

Xét tứ giác ANMB có

AN//MB

AN=MB

Do đó: ANMB là hình bình hành

=>AM cắt BN tại trung điểm của mỗi đường

mà E là trung điểm của AM

nên E là trung điểm của BN

c: ANMB là hình bình hành

=>AB=MN

mà \(AK=\dfrac{1}{2}AB;MI=\dfrac{1}{2}MN\)

nên AK=MI

ta có: ANMB là hình bình hành

=>AB//MN

=>AK//MI

Ta có: \(AK=\dfrac{1}{2}AB;AI=\dfrac{1}{2}AC\)

mà AB=AC(ΔABC cân tại A)

nên AK=AI

Xét tứ giác AKMI có

MI//AK

MI=AK

Do đó: AKMI là hình bình hành

Hình bình hành AKMI có AK=AI

nên AKMI là hình thoi

Hình thoi AKMI trở thành hình vuông khi \(\widehat{KAI}=90^0\)

=>\(\widehat{BAC}=90^0\)