1: Xét tứ giác MAOB có \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)
nên MAOB là tứ giác nội tiếp
Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của BA(1)
ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của AB
=>OM\(\perp\)AB
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(3)
Ta có: BA=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(4)
Từ (3),(4) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC
4: ta có: OA\(\perp\)BC
OA\(\perp\)AM
Do đó: BC//AM
Xét (O) có
\(\widehat{NAD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AN và dây cung AD
\(\widehat{ABD}\) là góc nội tiếp chắn cung AD
Do đó: \(\widehat{NAD}=\widehat{ABD}\)
Xét ΔNAD và ΔNBA có
\(\widehat{NAD}=\widehat{NBA}\)
\(\widehat{AND}\) chung
Do đó: ΔNAD~ΔNBA
=>\(\dfrac{NA}{NB}=\dfrac{ND}{NA}\)
=>\(NA^2=NB\cdot ND\)
Xét (O) có
\(\widehat{DCB}\) là góc nội tiếp chắn cung DB
\(\widehat{MBD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BM và dây cung BD
Do đó: \(\widehat{DCB}=\widehat{MBD}\)
=>\(\widehat{NMD}=\widehat{NBM}\)
Xét ΔNMD và ΔNBM có
\(\widehat{NMD}=\widehat{NBM}\)
\(\widehat{MND}\) chung
Do đó: ΔNMD~ΔNBM
=>\(\dfrac{NM}{NB}=\dfrac{ND}{NM}\)
=>\(NM^2=NB\cdot ND=NA^2\)
=>NM=NA
=>N là trung điểm của AM
