Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AM.
a) Cho biết AM 16cm, MC = 12cm. Tính AC.
b) Gọi Q là trung điểm của AC, K là điểm thuộc tỉa MQ sao cho QM = QK. Tứ giác AMCKa là hình gì ? Vì sao?
c) Chứng minh AB // MK.
d) Gọi P là trung điểm của AB. Chứng minh tứ giác APMQ là hình thoi. e) Tam giác ABC cần có điều kiện gì thì từ giác AMCK là hình vuông?
a: Ta có: ΔAMC vuông tại M
=>\(AM^2+MC^2=AC^2\)
=>\(AC^2=16^2+12^2=400\)
=>\(AC=\sqrt{400}=20\left(cm\right)\)
b: Xét tứ giác AMCK có
Q là trung điểm chung của AC và MK
=>AMCK là hình bình hành
Hình bình hành AMCK có \(\widehat{AMC}=90^0\)
nên AMCK là hình chữ nhật
c: Ta có:ΔABC cân tại A
mà AM là đường cao
nên M là trung điểm của CB
Xét ΔCAB có
M,Q lần lượt là trung điểm của CB,CA
=>MQ là đường trung bình của ΔCAB
=>MQ//AB và \(MQ=\dfrac{AB}{2}\)
Ta có: MQ//AB
K\(\in\)MQ
Do đó: MK//AB
d: Ta có: ΔABC cân tại A
mà AM là đường cao
nên AM là phân giác của góc BAC
Ta có: MQ//AB
P\(\in\)AB
Do đó: MQ//AP
Ta có: \(MQ=\dfrac{AB}{2}\)
\(AP=\dfrac{AB}{2}\)
Do đó: MQ=AP
Xét tứ giác APMQ có
MQ//AP
MQ=AP
Do đó: APMQ là hình bình hành
Hình bình hành APMQ có AM là phân giác của góc PAQ
nên APMQ là hình thoi
e: Để hình chữ nhật AMCK trở thành hình vuông thì AM=CM
mà \(CM=\dfrac{CB}{2}\)
nên \(AM=\dfrac{BC}{2}\)
Xét ΔABC có
AM là đường trung tuyến
\(AM=\dfrac{BC}{2}\)
Do đó: ΔABC vuông tại A
=>\(\widehat{BAC}=90^0\)
