cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc với AC tại H. Tên cạnh BC lấy điểm M bất kì (khác B,C). Gọi D,E,F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BH.
a, Chứng minh tam giác DBM = tam giác FMB
b, Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi
c, Trên tia đối của CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh BC đi qua trung điểm của DK
a: Ta có: FM\(\perp\)BH
AC\(\perp\)BH
Do đó: FM//AC
=>\(\widehat{FMB}=\widehat{ACB}\)
=>\(\widehat{FMB}=\widehat{DBM}\)
Xét ΔDBM vuông tại D và ΔFMB vuông tại F có
BM chung
\(\widehat{DBM}=\widehat{FMB}\)
Do đó: ΔDBM=ΔFMB
b: ΔDBM=ΔFMB
=>DM=FB
Ta có: ME\(\perp\)AC
BH\(\perp\)AC
Do đó: ME//BH
Xét tứ giác MEHF có
ME//HF
MF//HE
Do đó: MEHF là hình bình hành
=>ME=FH; MF=HE
MD+ME
=FB+FH
=BH không đổi
c: ΔDBM=ΔFMB
=>DB=FM
mà FM=HE và HE=CK
nên DB=CK
Kẻ DN//AC(N\(\in\)BC)
=>\(\widehat{DNB}=\widehat{ACB}\)(hai góc đồng vị)
=>\(\widehat{DBN}=\widehat{DNB}\)
=>DN=DB
mà DB=CK
nên DN=CK
Xét tứ giác DNKC có
DN//KC
DN=KC
Do đó: DNKC là hình bình hành
=>DK cắt NC tại trung điểm của mỗi đường
=>BC đi qua trung điểm của DK