Question

 Cho tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Gọi D, E lần lượt là điểm sao cho M là trung điểm của HD, N là trung điểm của HE.

Gọi O là giao của Be và CD Chứng minh rằng aoh thẳng hàng

SOS

Answer 1

ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

Xét tứ giác AHCE  có

N là trung điểm chung của AC và HE

=>AHCE là hình bình hành

=>AE//HC và AE=HC

Xét tứ giác AHBD có

M là trung điểm chung của AB và HD

=>AHBD là hình bình hành

=>AD=HB và AD//HB

Ta có: AD=HB

mà AE=HC

và HB=HC

nên AD=AE

Ta có: AD//HB

=>AD//BC

Ta có: AE//HC

=>AE//BC

Ta có: AD//BC

AE//BC

mà AD,AE có điểm chung là A

nên D,A,E thẳng hàng

mà AD=AE

nên A là trung điểm của DE

Ta có: \(DE=2AE\)(A là trung điểm của DE)

BC=2HC(H là trung điểm của BC)

nên HC=AE

nên DE=BC

Xét tứ giác DECB có

DE//CB

DE=CB

Do đó: DECB là hình bình hành

=>DC cắt EBtại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của DC và EB

Xét tứ giác ABHE có

AE//HB

AE=HB

Do đó: ABHE là hình bình hành

=>AH cắt BE tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của BE

nên O là trung điểm của AH

=>A,O,H thẳng hàng