Question

cho tam giác ABC ,các đường cao BD và CE cắt nhau ở H.gọi K là hình chiếu của H trên BC.chứng minh rằng: a) AB.AE=AC.AD b)BH.BD+CH.CE=BC^2

Answer 1

a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

\(\hat{DAB}\) chung

Do đó: ΔADB~ΔAEC

=>\(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(AD\cdot AC=AB\cdot AE\)

b: Xét ΔABC có

BD,CE là các đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC

mà HK⊥BC

và AH,HK có điểm chung là H

nên A,H,K thẳng hàng

Xét ΔBKH vuông tại K và ΔBDC vuông tại D có

\(\hat{KBH}\) chung

Do đó: ΔBKH~ΔBDC

=>\(\frac{BK}{BD}=\frac{BH}{BC}\)

=>\(BH\cdot BD=BK\cdot BC\)

Xét ΔCKH vuông tại K và ΔCEB vuông tại E có

\(\hat{KCH}\) chung

Do đó: ΔCKH~ΔCEB

=>\(\frac{CK}{CE}=\frac{CH}{CB}\)

=>\(CK\cdot CB=CH\cdot CE\)

\(BH\cdot BD+CH\cdot CE\)

\(=BK\cdot BC+CK\cdot BC=BC\left(BK+CK\right)=BC^2\)