Question

Cho tam giác ABC (AB<AC) kẻ đường cao AM và BD(M thuộc BC, D thuộc AC) gọi I là giao điểm của AM và BD
A) CM tam giác BMI đồng dạng tam giác ADI
B) CMR BI. BD=BM.BC
C) Cm góc BIC= góc BMD

Answer 1

 

A) Ta có thể chứng minh đồng dạng giữa tam giác \(BMI\) và \(ADI\) bằng cách so sánh các góc tương ứng:
   - Góc \(BMI\) và góc \(ADI\) là góc \(BAC\) và góc \(BAD\), vì chúng là góc ở đỉnh đồng dạng.
   - Góc \(BIM\) và góc \(ADI\) là góc vuông vì \(IM\) và \(ID\) là đường cao trong tam giác \(BMI\) và \(ADI\) tương ứng.

Vậy, ta có thể kết luận \(BMI\) đồng dạng \(ADI\).

B) Để chứng minh \(BI \cdot BD = BM \cdot BC\), ta sử dụng định lý Phân đôi đường cao trong tam giác vuông và tính chất của đường cao trong tam giác:

Trong tam giác \(ABD\) vuông tại \(D\):
   - Định lý Phân đôi đường cao: \(BD^2 = BM \cdot BC\)

Vậy, \(BI \cdot BD = BI \cdot \sqrt{BM \cdot BC} = \sqrt{BM \cdot BC} \cdot BD = BM \cdot BC\).

Vậy, ta chứng minh được \(BI \cdot BD = BM \cdot BC\).

C) Để chứng minh \( \angle BIC = \angle BMD \), ta sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ở tâm:

   - Góc \(BIC\) là góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp \(ABC\), nên \( \angle BIC = \frac{1}{2} \angle BAC\).
   - Góc \(BMD\) là góc ở tâm của đường tròn ngoại tiếp \(ABCD\), nên \( \angle BMD = \frac{1}{2} \angle BAD\).

Vì \( \angle BAC = \angle BAD\), nên \( \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BAD\), và do đó \( \angle BIC = \angle BMD\).

Vậy, ta chứng minh được \( \angle BIC = \angle BMD\).

Answer 2

a: Xét ΔIMB vuông tại M và ΔIDA vuông tại D có

\(\widehat{MIB}=\widehat{DIA}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIMB~ΔIDA

b: Xét ΔBMI vuông tại M và ΔBDC vuông tại D có

\(\widehat{MBI}\) chung

Do đó: ΔBMI~ΔBDC

=>\(\dfrac{BM}{BD}=\dfrac{BI}{BC}\)

=>\(BM\cdot BC=BI\cdot BD\)

c: \(\dfrac{BM}{BD}=\dfrac{BI}{BC}\)

=>\(\dfrac{BM}{BI}=\dfrac{BD}{BC}\)

Xét ΔBMD và ΔBIC có

\(\dfrac{BM}{BI}=\dfrac{BD}{BC}\)

\(\widehat{MBD}\) chung

Do đó: ΔBMD~ΔBIC

=>\(\widehat{BMD}=\widehat{BIC}\)