Để viết phương trình của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\), ta cần biết được tọa độ của trung điểm của các cạnh của tam giác, vì đường tròn ngoại tiếp sẽ đi qua trung điểm của các cạnh đó.
Trước tiên, ta cần tìm tọa độ của \(H\) và \(M\), nơi \(H\) là chân đường cao từ \(A\) xuống \(BC\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\).
1. Tính tọa độ của \(H\):
Đường cao từ \(A\) xuống \(BC\) sẽ vuông góc với \(BC\) tại \(H\). Ta cần tìm phương trình của đường thẳng \(BC\) trước.
Để làm điều này, ta cần tính hệ số góc của \(BC\), sau đó sử dụng tọa độ của \(B\) và \(C\) để tìm phương trình.
Hệ số góc của \(BC\) được tính bằng:
\[m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B}\]
\[m_{BC} = \frac{2 - 2}{3 - (-1)} = \frac{0}{4} = 0\]
Đường thẳng \(BC\) là một đường ngang, do đó \(H\) sẽ có cùng hoành độ với \(A\), và tung độ bằng tung độ của \(B\).
Vì vậy, \(H\) có tọa độ là \(H(1, 2)\).
2. Tính tọa độ của \(M\):
\(M\) là trung điểm của \(BC\), nên ta chỉ cần lấy trung bình của hoành độ và tung độ của \(B\) và \(C\).
\[x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\]
\[y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{2 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2\]
Vậy, \(M\) có tọa độ là \(M(1, 2)\).
3. Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp:
Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng khoảng cách từ tâm đến một trong các đỉnh. Trung điểm của một đoạn thẳng có tọa độ là trung bình của các tọa độ của hai đầu mút. Vậy nên bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là khoảng cách từ \(M\) đến một trong các đỉnh, ví dụ \(A\), nên:
\[r = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2}\]
\[r = \sqrt{(1 - 1)^2 + (2 - 0)^2}\]
\[r = \sqrt{0^2 + 2^2}\]
\[r = \sqrt{4}\]
\[r = 2\]
Do đó, phương trình của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là:
\[(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4\]
Bạn có thể viết lại phương trình này dưới dạng chuẩn nếu cần.
