Question

Cho : S=1-3+3²-3³+...+3⁹⁸-3⁹⁹
a) CMR : S là B(-20)
b) Tính tỗng S, từ đó => 3¹⁰⁰ chia 4 dư 1

Answer 1

a) S = ( 1 - 3 + 3² - 3³ ) + ( 3⁴ - 3⁵ + 3⁶ - 3⁷ ) + ... + ( 3⁹⁶ - 3⁹⁷ + 3⁹⁸ - 3⁹⁹ )

S = ( 1 - 3 + 3² - 3³ ) + 3⁴ ( 1 - 3 + 3² - 3³ ) + ... + 3⁹⁶ ( 1 - 3 + 3² - 3³ )

S = ( 1 - 3 + 3² - 3³ ) ( 1 + 3⁴ + ... + 3⁹⁶ )

S = ( 1 + 3⁴ + .... + 3⁹⁶ ) \(⋮\)-20

Suy ra S là B(-20)

b) S = 1 - 3 + 3² - 3³ + .... + 3⁹⁸ - 3⁹⁹

3S = 3 - 3² + 3³ - 3⁴ + ... + 3⁹⁹ - 3¹⁰⁰

4S = 1 - 3¹⁰⁰

\(\Rightarrow S=\frac{1-3^{100}}{4}\)  

vì S là 1 số nguyên nên \(1-3^{100}⋮4\) \(\Rightarrow\)3¹⁰⁰ chia 4 dư 1

Answer 2

a) \(S=1-3+3^2-3^3+...+3^{98}-3^{99}\) có 100 số hạng

\(=\left(1-3+3^2-3^3\right)+...+\left(3^{96}-3^{97}+3^{98}-3^{99}\right)\) có 25 nhóm

\(=\left(-20\right)+\left(-20\right).3^4+...+\left(-20\right).3^{96}\)

\(=\left(-20\right).\left(1+3^4+...+3^{96}\right)⋮\left(-20\right)\)

=> S là B(-20)

b)  Từ câu a 

=> \(3^4.S=\left(-20\right).\left(3^4+3^8+...+3^{96}+3^{100}\right)\)

=> \(3^4.S-S=\left(-20\right).\left(3^4+3^8+...+3^{96}+3^{100}\right)-\left(-20\right)\left(1+3^4+...+3^{92}+3^{96}\right)\)

=> \(\left(3^4-1\right)S=\left(-20\right)\left(3^{100}-1\right)\)

=> \(80S=-20.\left(3^{100}-1\right)\)

=> \(S=-\frac{3^{100}-1}{4}\) mà S là số nguyên 

=> \(3^{100}-1⋮4\)=> 3^100 : 4 dư 1