Question

Cho S = 1-3+3²-3³+...+3⁹⁸-3⁹⁹

Cmr S E B(-20)

Ai giải đúng và nhanh nhất sẽ được 3 tick

Answer 1

3≡−1(mod4)⇒3¹⁰⁰≡(−1)¹⁰⁰=1(mod4)
Vậy 3¹⁰⁰ chia 4 dư 1.

a) Ta có 3S=3−3²+3³−3⁴+...+3⁹⁷−3⁹⁸+3⁹⁹−3¹⁰⁰
⇒3S+S=1−3¹⁰⁰⇒S=(1−3¹⁰⁰)/4
Để chứng minh S chia hết cho 20 ta chứng minh 1−3¹⁰⁰ chia hết cho 80.

Ta có 32=9≡−1(mod5)⇒3¹⁰⁰≡(−1)⁵⁰=1(mod5)⇒1−3¹⁰⁰≡1−1=0(mod5)
Vậy 1−3¹⁰⁰ ⋮5
Ta có 3⁴=81≡1(mod16)⇒3¹⁰⁰≡1²⁵=1(mod16)⇒1−3¹⁰⁰≡1−1=0(mod16)
Vậy 1−3¹⁰⁰ ⋮16

Do (5,16)=1⇒1−3¹⁰⁰⋮16.5=80⇒(1−3¹⁰⁰)/4 ⋮20⇒S thuộc B 20

Sorry vừa ròi mk nhầm S=\(\frac{1-3^{100}}{4}\)mới đúng nha

Answer 2

\(S=1-3+3^2-3^3+...+3^{98}-3^{99}.\)

\(3S=3-3^2+3^3-3^4+...+3^{99}-3^{100}.\)

\(3S+S=\left(3-3^2+3^3-3^4+...+3^{99}-3^{100}\right)+\left(1-3+3^2-3^3+...+3^{98}-3^{99}\right)\)

\(4S=-3^{100}+1\)

\(S=\frac{-3^{100}+1}{4}\)