\(\Delta=b^2-4ac=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4.1.\left(m-4\right)\)
\(=4m^2+8m+4-4m+16\)
\(=4m^2+4m+20\)
\(=\left(2m\right)^2+2.2m.1+1^2+19\)
\(=\left(2m+1\right)^2+19>0\forall m\in R\)
Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Theo định lý Vi-ét, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-4\end{matrix}\right.\)
Lại có: \(\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)
\(=\sqrt{\left[2\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m-4\right)}\)
\(=\sqrt{4\left(m^2+2m+1\right)-4m+16}\)
\(=2\sqrt{m^2+2m+1-m+4}\)
\(=2\sqrt{m^2+m+5}\)
\(=2\sqrt{m^2+\dfrac{2.1}{2}m+\dfrac{1}{4}+\dfrac{15}{4}}\)
\(=2\sqrt{\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}}\)\(\ge2\sqrt{\dfrac{15}{4}}=\sqrt{15}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(\sqrt{15}\), \(A=\sqrt{15}\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)
