Question

Cho phương trình \(x^2-mx+m-1=0\)(m là tham số)

Gọi x₁, x₂ là 2 nghiệm của phương trình. Tìm min, max của

\(C=\frac{2x_1x_2+3}{x^2_1+x^2_2+2\left(x_1x_2+1\right)}\)

Answer 1

Có: \(\Delta=\left(m-2\right)^2\ge0\) => pt đã cho có nghiệm 

Vi-et: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{cases}}\)

\(C=\frac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\frac{2m+1}{m^2+2}\)

đến đây xét delta ra min max..

Answer 2

Ta có \(\Delta=m^2-4\left(m-1\right)=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\ge0\)

=> PT luôn có 2 nghiệm x₁;x₂ với mọi m

Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{cases}}\)

Khi đó: \(B=\frac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2\left(x_1x_2+1\right)}\)

\(B=\frac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2x_1x_2+2}\)

\(B=\frac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+3}=\frac{2\left(m-1\right)3}{m^2+2}=\frac{2m+1}{m^2+2}\)

=> 2B+1=\(2\cdot\frac{2m+1}{m^2+2}+1=\frac{4m+2+m^2+2}{m^2+2}=\frac{m^2+4m+4}{m^2+2}=\frac{\left(m+2\right)^2}{m^2+2}\)

Ta có (m+2)² >=0; m²+2>0 

<=> 2B+1 >=0 <=> \(B\ge\frac{-1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> m=-2

Vậy Min_B=\(\frac{-1}{2}\)đạt được khi m=-2