Bài này phải là n nguyên dương nhé
Ta có bài toán tổng quát : Cho pt \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\)có 2 nghiệm x1 ; x2
Đặt \(S_n=x_1^n+x_2^n\)thì pt \(aS_{n+2}+bS_{n+1}+cS_n=0\)cũng có nghiệm với n nguyên dương
Thật vậy Có : \(aS_{n+2}+bS_{n+1}+cS_n=a\left(x_1^{n+2}+x_2^{n+2}\right)+b\left(x_1^{n+1}+x_2^{n+1}\right)+c\left(x_1^n+x_2^n\right)\)
\(=x_1^n\left(ax_1^2+bx_1+c\right)+x_2^n\left(ax_2^2+bx_2+c\right)\)
\(=0\)
Vậy bài toán đc c/m
Áp dụng bài toán trên :pt \(x^2-3x+1=0\)Có nghiệm nên
pt \(s_{n+2}-3S_{n+1}+S_n=0\)cũng có nghiệm
\(\Rightarrow S_{n+2}=3S_{n+1}-S_n\)
Ta sẽ c/m Sn là số nguyên bằng phương pháp quy nạp
Với \(n=0\Rightarrow S_0=2\inℤ\)
Với \(n=1\Rightarrow S_1=3\inℤ\)
Với \(n=2\Rightarrow S_2=7\inℤ\)
Giả sử bài toán đúng với .n = k và n = k + 1 (k là stn)
Ta phải c/m phải toán đúng với n = k + 2
Có \(S_{k+2}=6S_{k+1}-S_k\inℤ\left(Do\text{ }S_{k+1};S_k\inℤ\right)\)
Vậy \(S_n\inℤ\forall n\inℕ^∗\)
