Question

Cho phương trình x² -2mx - 3m² + 4m -2 = 0

CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Tìm m để A = | x1 - x2| có GTNN

Answer 1

Lời giải:

Có: $\Delta'=m^2-(-3m^2+4m-2)=4m^2-4m+2=(2m-1)^2+1\geq 1>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

Do đó pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$.

Khi đó, áp dụng định lý Viet với $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của pt thì:

$x_1+x_2=2m$

$x_1x_2=-3m^2+4m-2$
Khi đó:
$A=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$

$=\sqrt{(2m)^2-4(-3m^2+4m-2)}=2\sqrt{(2m-1)^2+1}\geq 2\sqrt{1}=2$

Vậy $A_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $2m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$