Ta có: \(\left(x^2-3x+2\right)\left(x^2+cx+d\right)\)
\(=x^4+c\cdot x^3+x^2\cdot d-3x^3+c\cdot\left(-3x^2\right)-3x\cdot d+2x^2+2c\cdot x+2d\)
\(=x^4+x^3\left(c-3\right)+x^2\left(d-3c+2\right)+x\left(-3d+2c\right)+2d\)
Ta có: \(x^4+a\cdot x^2+b=\left(x^2-3x+2\right)\left(x^2+cx+d\right)\)
=>\(x^4+a\cdot x^2+b=x^4+x^3\left(c-3\right)+x^2\left(d-3c+2\right)+x\left(-3d+2c\right)+2d\)
=>c-3=0; d-3c+2=a; -3d+2c=0; 2d=b
=>c=3; d-9+2=a; 2c=3d; 2d=b
=>c=3; \(d=\frac23c=\frac23\cdot3=2\) ; \(b=2d=2\cdot2=4\) ; a=d-7=2-7=-5
Ta có đẳng thức : x^4 + a x^2 + b = (x^2 − 3x + 2)(x^2 + c x + d)
đúng với mọi x. Khai triển vế phải và so sánh hệ số.Tích: (x^2 − 3x + 2)(x^2 + c x + d) = x^2(x^2 + c x + d) − 3x(x^2 + c x + d) + 2(x^2 + c x + d) = x^4 + c x^3 + d x^2 − 3 x^3 − 3c x^2 − 3d x + 2 x^2 + 2c x + 2d
Gom hệ số theo lũy thừa của x: = x^4 (c − 3) x^3 (d − 3c + 2) x^2 (−3d + 2c) x 2d
Vế trái là x^4 + a x^2 + b, tức hệ số x^3 và x phải bằng 0, và hệ số x^2, hằng số lần lượt là a, b. Do đó hệ phương trình hệ số: c − 3 = 0 → c = 3 −3d + 2c = 0 → −3d + 2·3 = 0 → −3d + 6 = 0 → d = 2 a = d − 3c + 2 → a = 2 − 3·3 + 2 = 2 − 9 + 2 = −5 b = 2d → b = 2·2 = 4
Kết luận: a = −5, b = 4, c = 3, d = 2.
