Lời giải:
a. Nếu $m=1$ thì PT trở thành:
$4x+1=0$
$\Leftrightarrow x=\frac{-1}{4}$
Nếu $m\neq 1$ thì PT trên là PT bậc 2 ẩn $x$.
PT có nghiệm khi mà: $\Delta'=(m+1)^2-(m-1)(2m-1)\geq 0$
$\Leftrightarrow -m^2+5m\geq 0$
$\Leftrightarrow m^2-5m\leq 0$
$\Leftrightarrow m(m-5)\leq 0\Leftrightarrow 0\leq m\leq 5$
Kết hợp 2 TH suy ra PT có nghiệm khi $0\leq m\leq 5$
b. Để PT có thể có 2 nghiệm thì PT phải là PT bậc 2.
$\Rightarrow m\neq 1$
PT có nghiệm pb khi mà: $\Delta'=(m+1)^2-(m-1)(2m-1)> 0$
$\Leftrightarrow -m^2+5m>0$
$\Leftrightarrow m^2-5m<0$
$\Leftrightarrow m(m-5)<0$
$\Leftrightarrow 0< m< 5$
Vậy $0<m< 5$ và $m\neq 1$
c.
PT có 2 nghiệm trái dấu, tức là 2 nghiệm vừa phân biệt và trái dấu.
Từ kết quả phần b, PT có 2 nghiệm phân biệt khi $0< m< 5$ và $m\neq 1$ (1)
Theo định lý Viet, PT có 2 nghiệm trái dấu khi mà tích 2 nghiệm nhỏ hơn $0$
Hay: $\frac{2m-1}{m-1}<0$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}< m< 1$ (2)
Từ $(1); (2)\Rightarrow \frac{1}{2}< m< 1$
