Question

Cho p và 2p+1 là các số nguyên tố ( p lớn hơn hoặc bằng 5). Hỏi 4p+1 là số nguyên tố hay hợp số?

Các bạn chứng minh giúp mình nha😍

Answer 1

Lời giải:

Do $p$ là số nguyên tố $\geq 5$ nên $p$ không chia hết cho $3$. Do đó $p$ chia $3$ dư $1$ hoặc $2$

Nếu $p$ chia $3$ dư $1$. Đặt $p=3k+1$ với $k$ tự nhiên.

Khi đó: $2p+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1)\vdots 3$. Mà $2p+1>3$ nên $2p+1$ không là snt (trái với đề)

$\Rightarrow p$ chia $3$ dư $2$.

Đặt $p=3k+2$ với $k$ tự nhiên.

$4p+1=4(3k+2)+1=12k+9=3(4k+3)\vdots 3$. Mà $4p+1>3$ nên $4p+1$ là hợp số.