cho ( O, R) đường kính AB và 1 điểm C thuộc đường tròn (O,R) sao cho AC>BC. vẽ tiếp tuyến tại C cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại M, N. Gọi H là giao điểm của OM và AC, K là giao điểm BC và ON
a) Tứ giác OHCK là hình gì vì sao
b) cho R = 6cm, góc CAO = 30 độ tính AM
c) cm: AM. BN ko đổi khi C di động trên đường tròn
a: Xét (O) có
MA,MC là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MC
=>M nằm trên đường trung trực của AC(1)
Ta có: OA=OC
=>O nằm trên đường trung trực của AC(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AC
=>MO\(\perp\)AC tại H và H là trung điểm của AC
Xét (O) có
NC,NB là các tiếp tuyến
Do đó:NC=NB
=>N nằm trên đường trung trực của CB(3)
Ta có: OC=OB
=>O nằm trên đường trung trực của CB(4)
Từ (3) và (4) suy ra ON là đường trung trực của CB
=>ON\(\perp\)CB tại K và K là trung điểm của CB
Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
Xét tứ giác CHOK có
\(\widehat{CHO}=\widehat{CKO}=\widehat{KCH}=90^0\)
=>CHOK là hình chữ nhật
b: Ta có: \(\widehat{CAO}+\widehat{HOA}=90^0\)(ΔOHA vuông tại H)
\(\widehat{CAO}+\widehat{MAC}=\widehat{MAO}=90^0\)
Do đó: \(\widehat{HOA}=\widehat{MAC}=90^0-\widehat{CAO}=60^0\)
Xét ΔMOA vuông tại A có \(tanMOA=\dfrac{MA}{AO}\)
=>\(\dfrac{MA}{6}=tan60=\sqrt{3}\)
=>\(MA=6\sqrt{3}\left(cm\right)\)
c: Ta có: CHOK là hình chữ nhật
=>\(\widehat{HOK}=90^0\)
=>\(\widehat{MON}=90^0\)
Xét ΔMON vuông tại O có OC là đường cao
nên \(CM\cdot CN=OC^2\)
mà CM=MA và CN=NB
nên \(AM\cdot BN=OC^2=R^2\) không đổi
