Cho nửa (O;R) và đường kính AB. Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn ,kẻ tiếp tuyến Ax,By với nửa đường tròn. Lấy M thuộc nửa (O), tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax,BY lần lượt tại C,D. Nối AD cắt BC tại N, MN cắt AB tại H.c/m:
a) tg AOCM nội tiếp
b) tích AC.BD không phụ thuộc vào vị trí của M
c) MN//BD,MN=NH
a: Xét tứ giác AOMC có \(\widehat{OAC}+\widehat{OMC}=90^0+90^0=180^0\)
nên OACM là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
CM,CA là các tiếp tuyến
Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA
OC là phân giác của góc MOA
nên \(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{MOC}\)
Xét (O) có
DM,DB là các tiếp tuyến
Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB
Vì OD là phân giác của góc MOB
nên \(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)
Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\cdot\left(\widehat{MOD}+\widehat{MOC}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\widehat{DOC}=180^0\)
=>\(\widehat{DOC}=90^0\)
Xét ΔDOC vuông tại O có OM là đường cao
nên \(MC\cdot MD=OM^2\)
=>\(AC\cdot BD=R^2\) không phụ thuộc vào vị trí điểm M
c: Xét ΔNCA và ΔNBD có
\(\widehat{NCA}=\widehat{NBD}\)(hai góc so le trong, AC//BD)
\(\widehat{CNA}=\widehat{BND}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔNCA~ΔNBD
=>\(\dfrac{NC}{NB}=\dfrac{NA}{ND}=\dfrac{CA}{BD}=\dfrac{CM}{MD}\)
Xét ΔCDB có \(\dfrac{CN}{NB}=\dfrac{CM}{MD}\)
nên MN//BD
mà BD//AC
nên MN//AC
Gọi K là giao điểm của BM với AC
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>AM\(\perp\)BK tại M
Ta có: \(\widehat{CAM}+\widehat{CKM}=90^0\)(ΔMAK vuông tại M)
\(\widehat{CMA}+\widehat{CMK}=90^0\)
mà \(\widehat{CAM}=\widehat{CMA}\)(ΔCAM cân tại C)
nên \(\widehat{CKM}=\widehat{CMK}\)
=>CM=CK
mà CM=CA
nen CK=CA(1)
Xét ΔBKC có MN//KC
nên \(\dfrac{MN}{KC}=\dfrac{BN}{BC}\left(2\right)\)
Xét ΔBCA có NH//AC
nên \(\dfrac{NH}{AC}=\dfrac{BN}{BC}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra MN=NH
