Question

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cùng 1 mặt phẳng bờ AB có chứa đường tròn, Vẽ cái tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn, Trên nửa đường tròn lấy điểm C bất kì, Vẽ tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại C cắt Ax By lần lượt tại D và E CM: MO.DM + NO.NE không đổi

Answer 1

Bổ sung đề: M là giao điểm của OD và AC, N là giao điểm của OE và BC

Xét (O) có

DA,DC là các tiếp tuyến

Do đó: OD là phân giác của góc AOC

Xét (O) có

EC,EB là các tiếp tuyến

Do đó: OE là phân giác của góc COB

ΔOAC cân tại O

mà OD là đường phân giác

nên OD⊥AC tại M

ΔOBC cân tại O

mà OE là đường phân giác

nên OE⊥BC tại N và N là trung điểm của CB

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét ΔOCD vuông tại C có CM là đường cao

nên \(MO\cdot MD=MC^2\)

Xét ΔOCE vuông tại C có CN là đường cao

nên \(ON\cdot NE=CN^2\)

Xét tứ giác CMON có \(\hat{CMO}=\hat{CNO}=\hat{MCN}=90^0\)

nên CMON là hình chữ nhật

=>\(CM^2+CN^2=CO^2\)

=>\(MO\cdot MD+NC\cdot NE=R^2\) không đổi