Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn đó. Trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM > R. Từ M kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Tia MC cắt tia By tại D. a) Chứng minh MD = MA + BD và tam giác OMD vuông. b) Cho AM = 2R. Tính BD và chu vi tứ giác ABDM theo R. c) Tia AC cắt tia By tại K. Chứng minh OK vuông góc với BM.
a: Xét (O) có
MA,MC là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MC và OM là phân giác của góc AOC
Xét (O) có
DC,DB là các tiếp tuyến
Do đó: DC=DB và OD là phân giác của góc BOC
TA có: MC+CD=MD
mà MC=MA và CD=DB
nên MA+DB=MD
Ta có: OM là phân giác của góc AOC
=>\(\hat{AOC}=2\cdot\hat{MOC}\)
Ta có: OD là phân giác của góc COB
=>\(\hat{COB}=2\cdot\hat{COD}\)
Ta có: \(\hat{AOC}+\hat{COB}=180^0\) (hai góc kề bù)
=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{COD}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\hat{MOD}=180^0\)
=>\(\hat{MOD}=\frac{180^0}{2}=90^0\)
=>ΔOMD vuông tại O
b: Xét ΔOMD vuông tại O có OC là đường cao
nên \(OC^2=CM\cdot CD\)
=>\(AM\cdot BD=OC^2=R^2\)
=>\(BD=\frac{R^2}{2R}=\frac{R}{2}\)
MD=AM+BD
=2R+0,5R=2,5R
Chu vi tứ giác ABDM là:
AB+BD+DM+MA
=2R+0,5R+2,R+2R
=4R+3R
=7R
