Cho nửa đtron tâm O đường kính AB=2R. Hai tiếp tuyến Ax và By cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB với nửa đường tròn. Trên Ax lấy điểm C. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt By tại D. a) Tứ giác ABDC là hình gì b) C/m đường tròn ngoại tiếp tam giác COD tiếp xúc với đường thẳng AB c) C/m CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O d) C/m CA.CB=R^2
a: Xét tứ giác ABDC có BD//AC
nên ABDC là hình thang
Hình thang ABDC có CA\(\perp\)AB
nên ABDC là hình thang vuông
b: Gọi M là trung điểm của CD
ΔOCD vuông tại O
mà OM là đường trung tuyến
nên MO=MC=MD
=>M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔOCD
Xét hình thang ACDB có
M,O lần lượt là trung điểm của CD,AB
=>MO là đường trung bình của hình thang ACDB
=>MO//AC//DB và \(MO=\dfrac{AC+BD}{2}\)
MO//AC
AC\(\perp\)AB
Do đó: MO\(\perp\)AB
Xét (M) có
MO là bán kính
AB\(\perp\)MO tại O
Do đó: AB là tiếp tuyến của (M) tại O
=>Đường tròn ngoại tiếp ΔOCD tiếp xúc với đường thẳng AB
c: Gọi H là giao điểm của CO và BD
Xét ΔOAC vuông tại A và ΔOBH vuông tại B có
OA=OB
\(\widehat{AOC}=\widehat{BOH}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔOAC=ΔOBH
=>OC=OH; AC=BH
Xét ΔDHC có
DO là đường cao
DO là đường trung tuyến
Do đó: ΔDHC cân tại D
ΔDHC cân tại D
mà DO là đường cao
nên DO là phân giác của góc CDH
=>\(\widehat{CDO}=\widehat{HDO}\)
Xét ΔDMO vuông tại M và ΔDBO vuông tại B có
DO chung
\(\widehat{MDO}=\widehat{BDO}\)
Do đó: ΔDMO=ΔDBO
=>OM=OB
=>OM=R
Xét (O) có
OM là bán kính
CD vuông góc với OM tại M
Do đó: CD là tiếp tuyến của (O)
d: Xét (O) có
CA,CM là các tiếp tuyến
Do đó: CA=CM
ΔDMO=ΔDBO
=>DM=DB
Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao
nên \(OM^2=MC\cdot MD\)
=>\(AC\cdot BD=OM^2=R^2\)
