Question

Cho △ nhọn ABC (AB < AC), hai đường cao BD và CE (E thuộc AB, D thuộc AC). Gọi giao điểm của BD và CE là H. Chứng minh: BH.BD + CH.CE = BC²

Answer 1

Gọi \(AH\cap BC=F\)

Xét \(\Delta BHF\) và \(\Delta BCD\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BFH}=\widehat{BDC}=90^0\\\widehat{HBF}=\widehat{CBD}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta BHF\sim\Delta BCD\) (g.g) \(\Rightarrow\dfrac{BF}{BH}=\dfrac{BD}{BC}\Rightarrow BF.BC=BH.BD\)

Chứng minh tương tự ta có: \(CH.CE=CF.BC\)

\(\Rightarrow BH.BD+CH.CE=BF.BC+CF.BC=\left(BF+CF\right)BC=BC^2\)