Question

Cho M nằm trên nửa mặt phẳng đường tròn tâm O đường kính AB. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại M cắt tiếp tuyến Ax và By tại C và D

a) c/m: B,D,M,O cùng nằm trên một đường tròn. Chỉ ra bán kính của nó

b) c/m: CD=AC+BD

c) c/m AC.BD ko đổi khi M di chuyển trên (O)

d) Gọi AD cắt BC tại N.c/m MN // AC

Answer 1

a: Xét tứ giác BDMO có

\(\widehat{OMD}+\widehat{OBD}=90^0+90^0=180^0\)

=>BDMO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OD

Bán kính là OD/2

b: Xét (O) có

CM,CA là tiếp tuyến

=>CA=CM và OC là phân giác của \(\widehat{AOM}\)(1)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

=>DM=DB và OD là phân giác của \(\widehat{MOB}\)(2)

CD=CM+MD

mà CM=CA và DM=DB

nên CD=CA+DB

c: từ (1),(2) suy ra \(\widehat{COD}=\widehat{COM}+\widehat{DOM}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)

Xét ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(CM\cdot MD=OM^2\)

=>\(AC\cdot BD=R^2\)