Kéo dài AM cắt DC tại P
VÌ ABCD là hình vuông
=> Đặt: AB = BC = CD = DA = a
=> BM = \(\frac{a}{3}\); CN = \(\frac{a}{2}\)
=> MC = BC - BM = \(\frac{2a}{3}\)
+) \(\Delta\)ABM ~ \(\Delta\)PCM ( tự chứng minh )
=> \(\frac{AB}{PC}=\frac{BM}{MC}\)
=> \(\frac{a}{PC}=\frac{\frac{a}{3}}{\frac{2a}{3}}=\frac{1}{2}\)=> PC = 2a
=> PN = PC - NC = 2a - \(\frac{a}{2}\)= \(\frac{3a}{2}\)
+) \(\Delta\)ABI ~ \(\Delta\)PNI ( tự chứng minh )
=> \(\frac{AB}{PN}=\frac{AI}{IP}\)
=> \(\frac{AI}{PI}=\frac{a}{\frac{3a}{2}}=\frac{2}{3}\)(1)
mà \(AI+PI=AP=\sqrt{AD^2+DP^2}=\sqrt{a^2+9a^2}=\sqrt{10}a\)( DP = DC + CP = 3a) (2)
Từ (1); (2) => \(\hept{\begin{cases}PI=\frac{3\sqrt{10}}{5}\\AI=\frac{2\sqrt{10}}{5}\end{cases}}\)
=> \(\frac{IP}{CP}=\frac{\frac{3\sqrt{10}a}{5}}{2a}=\frac{3}{\sqrt{10}}\)
\(\frac{CP}{MP}=\frac{2a}{\sqrt{MC^2+CP^2}}=\frac{2a}{\frac{2\sqrt{10}}{3}a}=\frac{3}{\sqrt{10}}\)
Xét \(\Delta\)ICP và \(\Delta\)CMP có:
\(\frac{IP}{CP}=\frac{CP}{MP}\)( = \(\frac{3}{\sqrt{10}}\))
và ^IPC = ^CPM
=> \(\Delta\)ICP ~ \(\Delta\)CPM
=> ^CIP = ^MCP = 90\(^o\)
=> ^AIC = 90\(^o\)
Gọi O là giao điểm của AC và BD => O cách đều 4 điểm A, B, C, D (1)
Xét \(\Delta\)AIC vuông tại I có: O là trung điểm AC
=> O I = OA = OC (2)
Từ (1); (2)
=> O cách đều 5 điểm A, B, C, D, I
