Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 4cm. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AD, kẻ BM là tiếp tuyến của đường tròn O ( M là tiếp điểm, M khác A), BM cắt CD tại K a) Cm 4 điểm A,B,M,O cùng thuộc 1 đg tròn ( cm: 2 tam nội tiếp) b) Chứng minh OB vuông góc OK và BM.MK= AB^2/4 c) Đường thẳng AM cắt CD tại E. Cm K là trung điểm của ED và tính chu vi tứ giác ABKD
a: Xét (O) có
AD là đường kính
AB\(\perp\)AD tại A
Do đó: AB là tiếp tuyến của (O)
Xét tứ giác AOMB có \(\widehat{OAB}+\widehat{OMB}=90^0+90^0=180^0\)
nên AOMB là tứ giác nội tiếp
=>A,O,M,B cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
OD là bán kính
DK\(\perp\)DO tại D
Do đó: DK là tiếp tuyến của (O)
Xét (O) có
BA,BM là các tiếp tuyến
Do đó: OB là phân giác của góc AOM
=>\(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{MOB}\)
Xét (O) có
KM,KD là các tiếp tuyến
Do đó: OK là phân giác của góc DOM
=>\(\widehat{DOM}=2\cdot\widehat{KOM}\)
Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOD}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\cdot\left(\widehat{KOM}+\widehat{BOM}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\widehat{KOB}=180^0\)
=>\(\widehat{KOB}=90^0\)
=>OK\(\perp\)OB
Xét (O) có
BA,BM là các tiếp tuyến
Do đó: BA=BM
Xét (O) có
KD,KM là các tiếp tuyến
Do đó: KD=KM
Xét ΔOBK vuông tại O có OM là đường cao
nên \(BM\cdot MK=OM^2\)
=>\(BM\cdot MK=\left(\dfrac{1}{2}AD\right)^2=\dfrac{1}{4}AD^2=\dfrac{1}{4}AB^2\)
c: Ta có: BA=BM
=>B nằm trên đường trung trực của AM(1)
Ta có: OA=OM
=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)
Từ (1) và (2) suy ra BO là đường trung trực của AM
=>BO\(\perp\)AM
mà BO\(\perp\)OK
nên AM//OK
Xét ΔDEA có
O là trung điểm của AD
OK//AE
Do đó: K là trung điểm của DE
