Câu hỏi của Huỳnh Tân Huy

Question

Cho hình thoi ABCD có M,N,E,F lần lượt là các điểm thuộc tia đối của BA,CB,DC,AD sao cho BM=CN=DE=AF.Chúng minh:

a)$\Delta FAM=\Delta NCE$

b)Tứ giác $MNEF$là hình bình hành.

c)MNEF và ABCD có cùng tâm O

Cô Hoàng Huyền · Accepted Answer

a) Do ABCD là hình thoi nên $\widehat{BAD}=\widehat{DCB}$Suy ra $\widehat{FAM}=\widehat{NCE}$Cũng do ABCD là hình thoi nên AB = CD, hay AM = CEXét tam giác FAM và tam giác NCE có:FA = NCAM = CE$\widehat{FAM}=\widehat{NCE}$$\Rightarrow\Delta FAM=\Delta NCE\left(c-g-c\right)$b) Từ câu a ta có: FM = NEChứng minh tương tự câu a thì $\Delta EDF=\Delta MBN\left(c-g-c\right)\Rightarrow FE=NM$Xét tứ giác MNEF có FM = NE, FE = MN nên MNEF là hình bình hành.c) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Do ABCD là hình thoi nên O là trung điểm AC và BD.Xét tứ giác AFCN có FA song song và bằng CN nên AFCN là hình bình hành.Suy ra FN cắt AC tại trung điểm mỗi đường. Suy ra O là trung điểm FN.Tương tự BMDE là hình bình hành nên O là trung điểm ME.Tóm lại O là trung điểm của FN và ME hay O là giao điểm hai đường chéo của cả hình bình hành MNEF và hình thoi ABCD.Câu trả lời: a) Do ABCD là hình thoi nên $\widehat{BAD}=\widehat{DCB}$Suy ra $\widehat{FAM}=\widehat{NCE}$Cũng do ABCD là hình thoi nên AB = CD, hay AM = CEXét tam giác FAM và tam giác NCE có:FA = NCAM = CE$\widehat{FAM}=\widehat{NCE}$$\Rightarrow\Delta FAM=\Delta NCE\left(c-g-c\right)$b) Từ câu a ta có: FM = NEChứng minh tương tự câu a thì $\Delta EDF=\Delta MBN\left(c-g-c\right)\Rightarrow FE=NM$Xét tứ giác MNEF có FM = NE, FE = MN nên MNEF là hình bình hành.c) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Do ABCD là hình thoi nên O là trung điểm AC và BD.Xét tứ giác AFCN có FA song song và bằng CN nên AFCN là hình bình hành.Suy ra FN cắt AC tại trung điểm mỗi đường. Suy ra O là trung điểm FN.Tương tự BMDE là hình bình hành nên O là trung điểm ME.Tóm lại O là trung điểm của FN và ME hay O là giao điểm hai đường chéo của cả hình bình hành MNEF và hình thoi ABCD.