1) Tính độ dài cạnh AC
2) Gọi M,N,P,Q là hình chiếu của O lên các cạnh AB,BC,CD,DA. Chứng minh MNPQ là
hình chữ nhật. Tính diện tích hình chữ nhật MNPQ.
3) Lấy H, K thuộc AB và BC sao cho BH+BK = 6cm. Chứng minh tam giác DHK đều.
giúp e e cảm ơn trc ạ
1:
ABCD là hình thoi
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường và AC\(\perp\)DB tại O
=>O là trung điểm chung của AC và BD
Xét ΔABD có AB=AD và \(\widehat{BAD}=60^0\)
nên ΔABD đều
=>\(BD=AB=AD=6\left(cm\right)\)
Xét ΔABD đều có AO là đường cao
nên \(AO=BD\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)
O là trung điểm của AC
=>\(AC=2\cdot AO=6\sqrt{3}\left(cm\right)\)
2:
ABCD là hình thoi
=>AC là phân giác của góc BAD; CA là phân giác của góc BCD: BD là phân giác của góc ABC; DB là phân giác của góc ADC
ta có: OM\(\perp\)AB
AB//CD
Do đó: OM\(\perp\)CD
mà OP\(\perp\)CD
và OM,OP có điểm chung là O
nên M,O,P thẳng hàng
Ta có: OQ\(\perp\)AD
AD//BC
Do đó: OQ\(\perp\)BC
mà ON\(\perp\)BC
và OQ,ON có điểm chung là O
nên Q,O,N thẳng hàng
Xét ΔAMO vuông tại M và ΔAQO vuông tại Q có
AO chung
\(\widehat{MAO}=\widehat{QAO}\)(AO là phân giác của góc BAD)
Do đó: ΔAMO=ΔAQO
=>OM=OQ
Xét ΔBMO vuông tại M và ΔBNO vuông tại N có
BO chung
\(\widehat{MBO}=\widehat{NBO}\)
Do đó: ΔBMO=ΔBNO
=>OM=ON
Xét ΔCNO vuông tại N và ΔCPO vuông tại P có
CO chung
\(\widehat{NCO}=\widehat{PCO}\)
Do đó: ΔCNO=ΔCPO
=>ON=OP
Ta có: OM=ON
ON=OP
Do đó: OM=OP
=>O là trung điểm của MP
Ta có: OM=OQ
OM=ON
Do đó: OQ=ON
=>O là trung điểm của QN
Vì OM=OQ
mà MP=2OM và QN=2OQ
nên MP=QN
Xét tứ giác MNPQ có
O là trung điểm chung của MP và NQ
=>MNPQ là hình bình hành
Hình bình hành MNPQ có MP=NQ
nên MNPQ là hình chữ nhật
