Question

Cho hình thang ABCD(AB//CD). Gọi M,N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC, BD.

a) Chứng minh 4 điểm M,N,P,Q nằm trên một đường thẳng

b) Tính MN,PQ biết các cạn đáy của hình thang AB=a, CD=b (a>b)

c) Chứng minh rằng nếu MP=PQ=QN thì a=2b

Answer 1

Xét hình thang ABCD(AB//CD) có : NB=NC; MD=MA

⇒⇒ MN là đường trung bình hình thang ABCD

⇒⇒ MN//AB \(^{\left(1\right)}\)

Ta có: △BCA có NB=NC; PC=PA

⇒ NP là đường trung bình của △BCA

⇒ NP//CD

⇒ NP//AB (vì AB//CD) \(^{\left(2\right)}\)

Ta có: △CDA có MD=MA; PC=PA

⇒ MP là đường trung bình của △CDA

⇒ MP//CD ⇒ MP//AB \(^{\left(3\right)}\)

Từ(1); (2) ;(3)⇒ M,N,P thẳng hàng(*)

Ta có: △CDB có QD=QB; NC=NB

⇒ NQ là đường trung bình của △CDB

⇒ NQ//CD ⇒ NQ//AB(4)

Ta có: △ADB có QD=QB ; MD=MA

⇒ MQ là đường trung bình của △ADB

⇒ MQ//CD ⇒ MQ//AB(4)

Từ(1), (3), (4) ⇒ N,Q,M thẳng hàng (**)

Từ(*); (**) ⇒⇒ N,Q,P,M thẳng hàng

b. Ta có: NM là đường trung bình hình thang ABCD

\(\Rightarrow MN=\dfrac{x+y}{2}\)

Ta có NQ và MP là đưởng trung bình của △CDB và △CDA

\(\Rightarrow NQ=MP=\dfrac{y}{2}\)

Ta lại có:\(NQ+QP+PM=\dfrac{x+y}{2}\)

Hay \(y+QP=\dfrac{x+y}{2}\)

⇔ \(y+QP=\dfrac{x+y}{2}-y=\dfrac{x+y-2y}{2}=\dfrac{x-y}{2}\)

⇒ \(MN+PQ=\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x-y}{2}=\dfrac{x+y+x-y}{2}=\dfrac{2x}{2}=x\)

c) Ta có: MP=PQ=QN

⇔\(\dfrac{y}{2}=\dfrac{x-y}{2}\)

⇔\(\dfrac{y}{2}=\dfrac{x-y+y}{4}\) (Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Leftrightarrow\dfrac{y}{2}=\dfrac{x}{4}\Leftrightarrow4y=2x\Leftrightarrow x=2y\)

Answer 2

https://i.imgur.com/PobQEkh.jpg

Answer 3

a: Xét ΔDAB có M,Q lần lượt là trung điểm của DA và DB

nên MQ là đường trung bình

=>MQ//AB(1) và MQ=AB/2

Xét ΔCAB có N,P lần lượt là trung điểm của CB và CA
nên NP là đường trung bình

=>NP//AB(2) và NP=AB/2

Xét hình thang ABCD có

M.N lần lượt là trung điểm của AD và BC

nên MN là đường trung bình

=>MN//AB//CD(3) và MN=(AB+CD)/2

Từ (1), (2) và(3) suy ra M,Q,P,N thẳng hàng

b: MN=(a+b)/2

PQ=MN-MQ-NP

\(=\dfrac{1}{2}\left|a-b\right|=\dfrac{1}{2}\left(b-a\right)\)