Question

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Điểm M thuộc đoạn thẳng BC' , điểm N thuộc đoạn thẳng AB' tạo với mặt phẳng đáy một góc  30 0 . Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng MN.

A .   a 2

B .   2 a 3

C .   2 a 5   -   1

D .   2 a 5   +   1

Answer 1

Đáp án D

Ý tưởng: 1 - MN phải chăng sẽ là hai điểm đặc biệt nào đó

               2 – Khi nhận ra M là trung điểm của BA’ thì ta tiến hành tính toán MN qua điểm A’ bằng cách lấy P thuộc BC’!

Lời giải: Dễ có mặt phẳng (BA’C’) vuông góc với AB’. Do đó để MN là nhỏ nhất thì M là giao của AB’ và BA’, N là điểm thuộc BC’ sao cho góc giữa MN và (A’B’C’D’) là 30 0 . Gọi P là điểm thuộc BC’sao cho A’P cũng hợp với mặt phẳng đáy một góc  30 0 , khi đó MN là đường trung bình của tam giác BA’P nên MN = 1 2 A'P.

Giả sử độ dài đoạn B’H = x, khi đó PH = HC’ =  a – x    (tam giác PC’H vuông cân tại C’), và A'H = 

Theo điều ta đã giả sử ở trên thì góc giữa A’P và (A’B’C’D’) =   30 0 , do đó

Mặt khác ta lại có A'P = (2)

Từ  (1) và (2) ta tính được 

Từ đây ta rút ra được

=> Chọn phương án D.