Question

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là đường chiếu của D trên AC, M là trung điểm HC. Đường thẳng vuông góc với DM tại M cắt AB ở I. Chứng minh : AI = BI

Answer 1

           

Gọi K là trung điểm của DH.

MK là đường trung bình của \(\Delta HDC\Rightarrow\hept{\begin{cases}KM//DC\\KM=\frac{1}{2}DC\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}KM//AI\left(1\right)\\KM=\frac{1}{2}AB\end{cases}}}\)  (do DC//AI và CD = AB)

Ta có: KM // DC (cmt) và \(DC\perp AD\left(gt\right)\Rightarrow KM\perp AD\)

C/m được K là trực tâm của \(\Delta ADM\Rightarrow AK\perp DM\)

\(\Rightarrow AK//IM\) (vì IM vuông góc với DM) (2)

Từ (1) và (2), ta được AKMI là hình bình hành.

\(\Rightarrow AI=KM=\frac{1}{2}AB\)

\(AI+IB=AB\Rightarrow\frac{1}{2}AB+IB=AB\Rightarrow IB=\frac{1}{2}AB\)

Vậy AI = BI.