Question

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang, AB song song CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD,BC và G là trọng tâm tam giác SAB. Mặt phẳng (GIJ) cắt SA, SB lần lượt tại M, N. Biết AB = k CD,tìm k để MNIJ là hình bình hành

Answer 1

Theo giả thiết ta có IJ là đường trung bình hình thang ABCD

\(\Rightarrow IJ||AB||CD\)

Qua G kẻ đường thẳng d song song AB lần lượt cắt SA tại M và SB tại N

\(\Rightarrow MN\in\left(GIJ\right)\)

Do \(MN||IJ\) nên MNIJ là hình bình hành khi và chỉ khi \(MN=IJ\)

Theo t/c trọng tâm và định lý Thales: \(\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow MN=\dfrac{2}{3}AB=\dfrac{2}{3}k.CD\)

DO IJ là đường trung bình hình thang ABCD:

\(\Rightarrow IJ=\dfrac{AB+CD}{2}=\dfrac{k.CD+CD}{2}=\dfrac{k+1}{2}CD\)

\(\Rightarrow\dfrac{k+1}{2}CD=\dfrac{2}{3}k.CD\)

\(\Rightarrow\dfrac{k+1}{2}=\dfrac{2}{3}k\Rightarrow k=3\)