Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SD, CD, BC. Thể tích khối chóp S.ABPN là x, thể tích khối tứ diện CMNP là y. Giá trị của x,y thỏa mãn các bất đẳng thức nào dưới đây?
A. x 2 + 2 x y - y 2 > 160
B. x 2 - 2 x y + 2 y 2 < 109
C. x 2 + x y - y 4 < 145
D. x 2 - x y + y 4 > 125
Đáp án C
Gọi H là trung điểm của AB. Do ∆ S A B đều nên S H ⊥ A B và S H = A B 3 2 = 2 3 .
Mà S A B ⊥ ( A B C D ) nên S H ⊥ ( A B C D ) .
Từ d S , A B C D d M , A B C D = S D M D = 2 ⇒ d M ; ( A B C D ) = d S ; A B C D 2 = S H 2 = 3 .
Ta có S ∆ P C N = 1 2 P C . P N = 1 2 . B C 2 . C D 2 = 1 2 . 4 2 . 4 2 = 2 (đvdt).
→ V M . P C N = 1 3 . d M ; ( A B C D ) . S ∆ P C N = 1 3 . 3 . 2 = 2 3 3 (đvdt) .
→ y = 2 3 3
Lại có S A B P N = S A B C D - S ∆ P C N = 4 2 - 1 2 . 2 . 2 - 1 2 . 4 . 2 = 10 (đvdt)
V S . A B P N = 1 3 . S H . S A B P N = 1 3 . 2 3 . 10 = 20 3 3 (đvdt) .
* Phương án A:
x 2 + 2 x y - y 2 = 20 3 3 2 + 2 . 20 3 3 . 20 3 3 - 2 3 3 2 = 476 3 < 160
* Phương án B:
x 2 - 2 x y + 2 y 2 = 20 3 3 2 - 2 . 20 3 3 . 20 3 3 + 2 2 3 3 2 = 328 3 > 109
* Phương án C:
x 2 + x y - y 4 = 20 3 3 2 + 20 3 3 . 20 3 3 - 2 3 3 4 = 1304 9 < 145
* Phương án D:
x 2 - x y + y 4 = 20 3 3 2 - 20 3 3 . 20 3 3 + 2 3 3 4 = 1096 9 < 125
