Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA=a√3.
a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp
b) Tìm: (SA,BD), (SB,CD), (SB,AC), (SC,AD)
c) Tìm: (SA, (SBC)), (SA, (SBD)), (SB, (SCD)), (SB, (SAC)), (SC, ADS)), (SC, (SBD))
d) Chứng minh rằng: (SAB) ⊥ (SBC), (SAC) ⊥ (SBD)
e) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh rằng: (AHK) ⊥ (SBC), (SDC), (SAC)
b: Vì SA⊥(ABCD)
nên SA⊥BD
=>\(\hat{SA;BD}=90^0\)
ABCD là hình vuông
=>AB//CD
=>\(\hat{SB;CD}=\hat{SB;BA}=\hat{SBA}\)
Xét ΔSAB vuông tại A có \(tanSBA=\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt3}{a}=\sqrt3\)
nên \(\hat{SBA}=60^0\)
=>\(\hat{SB;CD}=60^0\)
Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là trung điểm của SD
ABCD là hình vuông
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
Xét ΔDBS có
O,I lần lượt là trung điểm của DB,DS
=>OI là đường trung bình của ΔDBS
=>OI//SB
=>\(\hat{SB;AC}=\hat{OI;AC}=\hat{AOI}\)
ΔSAD vuông tại A
mà AI là đường trung tuyến
nên AI=ID=SD/2
ΔSAD vuông tại A
=>\(SA^2+AD^2=SD^2\)
=>\(SD^2=\left(a\sqrt3\right)^2+a^2=4a^2\)
=>SD=2a
=>AI=ID=a
ΔSAB vuông tại A
=>\(SA^2+AB^2=SB^2\)
=>\(SB^2=\left(a\sqrt3\right)^2+a^2=4a^2\)
=>SB=2a
=>OI=a
ABCD là hình vuông
=>\(AC^2=AB^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2\)
=>\(AC=a\sqrt2\)
O là trung điểm của AC
=>\(OA=OC=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt2}{2}\)
Xét ΔIOA có \(cosIOA=\frac{OA^2+OI^2-AI^2}{2\cdot OA\cdot OI}=\frac{\left(\frac{a\sqrt2}{2}\right)^2+a^2-a^2}{2\cdot\frac{a\sqrt2}{2}\cdot a}=\frac{\frac{a^2}{2}}{a^2\sqrt2}=\frac{a^2}{2}\cdot\frac{1}{a^2\sqrt2}=\frac{1}{2\sqrt2}\)
nên \(\hat{IOA}\) ≃69 độ
=>\(\hat{SB;AC}\) ≃69 độ
AD//BC
=>\(\hat{SC;AD}=\hat{SC;BC}=\hat{SCB}\)
ΔSAC vuông tại A
=>\(SA^2+AC^2=SC^2\)
=>\(SC^2=\left(a\sqrt3\right)^2+\left(a\sqrt2\right)^2=5a^2\)
=>\(SC=a\sqrt5\)
mà SB=2a; BC=a
Xét ΔSBC có \(BS^2+BC^2=SC^2\)
nên ΔBSC vuông tại B
Xét ΔBSC vuông tại B có \(\sin BCS=\frac{BS}{SC}=\frac{2a}{a\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5}\)
nên \(\hat{BCS}\) ≃63 độ
=>\(\hat{SC;AD}\) ≃63 độ
c: Kẻ AK⊥SB tại K
Ta có: BC⊥AB
BC⊥SA
SA,AB cùng thuộc mp(SAB)
Do đó: BC⊥(SAB)
=>BC⊥AK
Ta có: AK⊥BC
AK⊥SB
SB,BC cùng thuộc mp(SBC)
Do đó: AK⊥(SBC)
=>\(\hat{SA;\left(SBC\right)}=\hat{SA;SK}=\hat{ASK}\)
Xét ΔSAB vuông tại A có tan ASB=AB/SA=1/căn 3
nên \(\hat{ASB}=30^0\)
=>\(\hat{SA;\left(SBC\right)}=30^0\)
d: Vì BC⊥(SAB)
và BC⊂(SBC)
nên (SAB)⊥(SBC)
BD⊥AC
BD⊥SA
SA,AC cùng thuộc mp(SAC)
Do đó: BD⊥(SAC)
mà BD⊂(SBD)
nên (SBD)⊥(SAC)
