Question

Cho hình bình hành ABCD.Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD 

a,Chứng  minh :AECF,BEDF là hình bình hành.

b, AF cắt DE tai I,EC cat FB tai K. Chung minh tu giac EIFK la hinh binh hanh.hang

c,Các đoạn thẳng AC,BD,EF cùng đi qua một điểm

đ,tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác EIFK là hình vuông

e,AF ,CE cắt BD lần lượt ở M,N. chung minh DM=MN=NB

Answer 1

Bạn tự vẽ hình nha ^^

a) Ta có: AB=CD (gt), mà E,F lần lượt và trung điểm của AB và CD.

=> EA=EB=FD=FC

Ta có: AB song song => EA song song FC

Ta có EA=FC và EA song song FC

=> AECF là hình bình hành.

Tương tự chứng minh BEDF là hình bình hành.

b) Kẻ EF.

Ta có: EA=FD (cmt); AB song song CD => EA song song FD

=> AEFD là hình bình hành

Tương tự chứng minh EBCF là hình hình hành.

Ta có: E là trung điểm AB

          K là trung điểm của BF (hai đường chéo EC và BF của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> KE là đường trung bình của tam giác ABF

=> KE song song AF và KE=1/2 AF (1)

Ta có hai đường chéo AF và DE của hình bình hành AEFD => I là trung điểm của AF => IF=1/2 AF (2)

Từ (1) và (2) suy ra IF=KE và KE song song AF

=> EIFK là hình bình hành

c)  Xét hình bình hành ABCD có AC và BD là hai đường chéo => AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (1)

Xét hình bình hành AEFC có hai đường chéo là EF và AC => EF và AC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC, BD, EF cùng đi qua một diểm.

d) Giả sử EIFK là hình vuông.

=> IF = IE

Mà IF=IA, IE=ID (hai đường chéo AF và DE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> IE=ID=IA=IF

=> AF=DE

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo bằng nhau => là hình chữ nhật.

=> DAE= 90 độ

Ta có hình bình hành ABCD có một góc vuông => là hình chữ nhật.

Vậy để EIFK là hình vuông thì ABCD phải là hình chữ nhật.

e) Gọi giao điểm của AC và DB là O

Ta có DO là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh D của tam giác DAC

AF là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác DAC

DO và AF cắt nhau tại M

=> M là trọng tâm của tam giác DAC

=> DM=2/3 DO, MO=1/3 DO (1)

Tương tự chứng minh NB=2/3 BO và NO=1/3 BO (2)

Ta có OB=OD (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra DM=NB

Ta có MN=MO+NO=1/3 DO+ 1/3 BO= 2/3 DO = 2/3 BO 

=> DM=MN=NB