Question

Cho hình bình hành ABCD, M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi H và K lần lượt là giao điểm của AN, CM và BD. Chứng minh trung điểm các đoạn thẳng AC, MN, HK trùng nhau.

Answer 1

Ta có: \(AM=MB=\dfrac{AB}{2}\)

\(DN=NC=\dfrac{DC}{2}\)

mà AB=DC

nên AM=MB=DN=NC

Ta có: AB//CD

mà \(M\in AB;N\in CD\)

nên MB//ND; AM//CN

Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

=>AN//CM

Xét ΔDKC có

N là trung điểm của DC

NH//KC

Do đó: H là trung điểm của DK

=>DH=HK(1)

Xét ΔBAH có

M là trung điểm của BA

MK//AH

Do đó: K là trung điểm của BH

=>BK=KH(2)

Từ (1),(2) suy ra DH=HK=KB

Xét ΔMBK và ΔNDH có

MB=ND

\(\widehat{MBK}=\widehat{NDH}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

BK=DH

Do đó: ΔMBK=ΔNDH

=>MK=NH

Ta có: AN//CM

=>HN//KM

Xét tứ giác HNKM có

HN//KM

HN=KM

Do đó: HNKM là hình bình hành

=>HK cắt NM tại trung điểm của mỗi đường(3)

Ta có: AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(4)

Từ (3),(4) suy ra HK,MN,AC đồng quy