a.Vì \(ABCD\) là hbh (gt)
\(\rightarrow AB=CD\) (2 cạnh đối bằng nhau)
\(BC=DA\) (2 cạnh đối bằng nhau)
Lại có: \(E,F,G,H\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB,BC,CD,DA\) (gt)
\(\rightarrow AE=EB=CG=GD\)
và \(BF=FC=DH=HA\)
Xét \(\Delta HAE\) và \(\Delta FCG\) có:
\(HA=FC\left(cmt\right)\)
\(\widehat{HAE}=\widehat{FCG}\) (2 góc đối bằng nhau)
\(AE=CG\left(cmt\right)\)
\(\rightarrow\Delta HAE=\Delta FCG\left(c-g-c\right)\)
\(\rightarrow HE=FG\) (1) (2 cạnh tương ứng)
Xét\(\Delta FBE\) và \(\Delta HDG\) có:
\(BE=DG\left(cmt\right)\)
\(\widehat{FBE}=\widehat{HDG}\)(2 góc đối bằng nhau)
\(FB=HD\left(cmt\right)\)
\(\rightarrow\Delta FBE=\Delta HDG\left(c-g-c\right)\)
\(\rightarrow FE=HD\) (2) (2 cạnh tương ứng)
Từ (1) và (2) \(\rightarrow EFGH\) là hình bình hành.
b.Vì \(ABCD\) là hcn
\(\rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=90^O\)
Xét \(\Delta HAE\) và \(\Delta FBE\) có:
\(AE=BE\)(cm câu a)
\(\widehat{HAE}=\widehat{FBE}\) (Vì A=B)
\(HA=FB\) (cm câu a)
\(\rightarrow\Delta HAE=\Delta FBE\) (c.g.c)
\(\rightarrow HE=FE\) (3) (2 cạnh tương ứng)
Từ (1), (2) và (3) \(\rightarrow HE=FG=FE=HD\)
\(\rightarrow\)Tứ giác \(EFGH\) là hình thoi
Vậy khi \(ABCD\) là hcn thì \(EFGH\) là hình thoi.
Vì \(ABCD\) là thoi
\(\rightarrow AB=CD\) (4)
Xét tứ giác \(AEGD\) có: \(AE=GD\) (cm câu a)
\(AE//GD\)(do \(AB//DC\))
\(\rightarrow\)Tứ giác \(AEGD\) là hbh
\(\rightarrow EG=AD\) (5) (hai cạnh đối bằng nhau)
Xét tứ giác \(DHFC\) có: \(DH=FC\) (cm câu a)
\(DH//FC\) (do \(DA//BC\))
\(\rightarrow\)Tứ giác \(DHFC\) là hbh
\(\rightarrow HF=DC\) (6) (hai cạnh đối bằng nhau)
Từ (4), (5) và (6) \(\rightarrow EG=HF\)
Mà \(EFGH\) là hình bình hành (cm câu a)
\(\rightarrow\)Hbh \(EFGH\) là hình chứ nhật
Vậy khi \(ABCD\) là hình thoi thì \(EFGH\) là hình chữ nhật.
Ta có: AB=CD(do AB và CD là hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)
mà \(AE=EB=\frac{AB}{2}\)(do E là trung điểm của AB)
và \(DG=GC=\frac{DC}{2}\)(do G là trung điểm của DC)
nên AE=EB=DG=GC
Ta có: AD=CB(do AD và CB là hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)
mà \(AH=HD=\frac{AD}{2}\)(do H là trung điểm của AD)
và \(BF=CF=\frac{BC}{2}\)(do F là trung điểm của BC)
nên AH=HD=BF=CF
Xét ΔAEH và ΔFCG có
AE=CG(cmt)
\(\widehat{A}=\widehat{C}\)(do \(\widehat{A}\) và \(\widehat{C}\) là hai góc đối trong hình bình hành ABCD)
AH=CF(cmt)
Do đó: ΔAEH=ΔFCG(c-g-c)
⇒EH=GF(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔHDG và ΔFBE có
HD=BF(cmt)
\(\widehat{D}=\widehat{B}\)(do \(\widehat{D}\) và \(\widehat{B}\) là hai góc đối trong hình bình hành ABCD)
GD=EB(cmt)
Do đó: ΔHDG=ΔFBE(c-g-c)
⇒HG=EF(hai cạnh tương ứng)
Xét tứ giác EFGH có HE=GF(cmt) và HG=EF(cmt)
nên EFGH là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b) Khi hình bình hành ABCD là hình chữ nhật thì \(\widehat{A}=\widehat{B}=90độ\)
Xét ΔAEH vuông tại A và ΔEBF vuông tại B có
AE=EB(do E là trung điểm của AB)
AH=BF(cmt)
Do đó: ΔAEH=ΔEBF(hai cạnh góc vuông)
⇒EH=EF(hai cạnh tương ứng)
Hình bình hành EFGH có EH=EF(cmt)
nên EFGH là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
Khi hình bình hành ABCD là hình thoi thì AC⊥BD
Xét ΔABC có
E là trung điểm của AB(gt)
F là trung điểm của BC(gt)
Do đó: EF là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒EF//AC và \(EF=\frac{AC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Xét ΔABD có
E là trung điểm của AB(gt)
H là trung điểm của AD(gt)
Do đó: EH là đường trung bình của ΔABD(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒EH//BD và \(EH=\frac{BD}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Ta có: EF//AC(cmt)
AC⊥BD(cmt)
Do đó: EF⊥BD(định lí 2 về quan hệ giữa vuông góc và song song)
Ta có: EF⊥BD(cmt)
EH//BD(cmt)
Do đó: EF⊥EH(định lí 2 về quan hệ giữa vuông góc và song song)
⇒\(\widehat{FEH}=90độ\)
Xét hình bình hành EFGH có \(\widehat{FEH}=90độ\)(cmt)
nên EFGH là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Vậy: Khi ABCD là hình chữ nhật thì EFGH là hình thoi
Khi ABCD là hình thoi thì EFGH là hình chữ nhật
;
; 
. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
