Question

Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F. Gọi giao điểm của AF và DE là I, BF và CE là Q. Chứng minh AC, IQ, EF đồng quy

Answer 1

Ta có: \(\widehat{ABF}=\widehat{CBF}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\)

\(\widehat{ADE}=\widehat{CDE}=\dfrac{\widehat{ADC}}{2}\)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)(ABCD là hình bình hành)

nên \(\widehat{ABF}=\widehat{CBF}=\widehat{ADE}=\widehat{CDE}\)

Xét ΔADE và ΔCBF có

\(\widehat{ADE}=\widehat{CBF}\)

AD=CB

\(\widehat{DAE}=\widehat{BCF}\)(ABCD là hình bình hành)

Do đó: ΔADE=ΔCBF

=>AE=CF

Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

=>AC cắt EF tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: AE+EB=AB

CF+FD=CD

mà AB=CD và AE=CF

nên EB=FD

Xét tứ giác EBFD có

EB//FD

EB=FD

Do đó: EBFD là hình bình hành

=>DE//BF

=>IE//FQ

Ta có: AECF là hình bình hành

=>AF//CE

=>IF//EQ

Xét tứ giác IEQF có

IE//QF

IF//QE

Do đó: IEQF là hình bình hành

=>IQ cắt EF tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AC,IQ,EF đồng quy